Question

（2011•新疆模擬）若多項式x+x¹⁰=a₀+a₁（x+1）+…+a₉（x+1）⁹+a₁₀（x+1）¹⁰，那么a₀+a₂+…+a₆+a₈=

510

．

Answer 1

分析：考察多項式，令x=0，得到 0=a₀+a₂+…+a₉+a₁₀令x=-2得到-2+2¹⁰=a₀-a₁+a₂-…-a₉+a₁₀，求出 a₀+a₂+…+a₈+a₁₀，
注意到x¹⁰的系數，即可求出所求結果．

解答：解：令x=0，得到 0=a₀+a₁+…+a₉+a₁₀
令x=-2得到-2+2¹⁰=a₀-a₁+a₂-…-a₉+a₁₀，
兩式相加-2+2¹⁰=2（a₀+a₂+…+a₈+a₁₀），
a₀+a₂+…+a₈+a₁₀=-1+2⁹ 在原來等式中觀察x¹⁰的系數，左邊為1，右邊為a₁₀，所以a₁₀=1，
所以a₀+a₂+…+a₆+a₈=-2+2⁹=510．
故答案為：510．

點評：本題是中檔題，考查二項式定理系數的性質，仔細分析觀察已知等式是解題的關鍵．