Question

在函數y=lgx（x＞1）的圖象有A、B、C三點，橫坐標分別為：m，m+2，m+4，
（1）若△ABC的面積為S，求S=f（m）的解析式；
（2）求S=f（m）的最大值；
（3）若a、b、c和lga、lgb、lgc分別是兩個三角形的三條邊，且a、b、c互不相等，那么這兩個三角形能否相似？說明理由．

Answer 1

分析：（1）過分別過A，B，C作AA₁⊥x軸，BB₁⊥x軸，CC₁⊥x軸分別交x軸于A₁，B₁，C₁ 則S=S梯形AA₁B₁B+S梯形BB₁C₁D-S梯形AA₁C₁D，從而求出△ABC的面積為S；
（2）S_△ABC=lg（1+

4

(m+2)2-4

）這個函數可以看做復合函數，因為S=lgx是增函數，所以要是S最大，只要函數x=1+

4

(m+2)2-4

最大即可，根據函數的單調性可求出最大值；
（3）不相似．依題意，設a＜b＜c，則有lga＜lgb＜lgc，假設相似，則有

a

lga

=

b

lgb

=

c

lgc

=k，k為常數則a、b、c為方程x=klgx的三個根，而曲線y=x與y=klgx至多有兩個交點，所以產生矛盾，從而得到結論．

解答：解：（1）過分別過A，B，C作AA₁⊥x軸，BB₁⊥x軸，CC₁⊥x軸分別交x軸于A₁，B₁，C₁
則S=S梯形AA₁B₁B+S梯形BB₁C₁D-S梯形AA₁C₁D
=

1

2

[lgm+lg（m+2）]×2+

1

2

[lg（m+2）+lg（m+4）]×2-

1

2

[lgm+lg（m+4）]×4=2lg（m+2）-lg（m+4）-lgm（m≥1）
∴S_△ABC=lg

(m+2)2

m(m+4)

=lg（1+

4

m2+4m

），（m≥1）
（2）S_△ABC=lg（1+

4

(m+2)2-4

）這個函數可以看做復合函數
因為S=lgx是增函數，所以要是S最大，只要函數x=1+

4

(m+2)2-4

最大即可
在[1，+∞）⇒S_mgx=f（1）=lg

9

5

=2lg3-lg5；
（3）不相似．依題意，設a＜b＜c，則有lga＜lgb＜lgc，若相似，則有

a

lga

=

b

lgb

=

c

lgc

=k，k為常數
⇒a、b、c為方程x=klgx的三個根．
而曲線y=x與y=klgx至多有兩個交點，所以產生矛盾，因而這兩個三角形不相似．

點評：本題主要考查了對數函數圖象與性質的綜合應用，同時考查了三角形相似等有關知識，屬于中檔題．