Question

19．已知直線x+2y-4=0與拋物線${y^2}=\frac{1}{2}x$相交于A，B兩點（A在B上方），O是坐標原點．
（Ⅰ）求拋物線在A點處的切線方程；
（Ⅱ）試在拋物線的曲線AOB上求一點P，使△ABP的面積最大．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出A的坐標，利用導數求出切線的斜率，即可求拋物線在A點處的切線方程；
（Ⅱ）設切點為（x₀，y₀），過切點（x₀，y₀）的切線與直線x+2y-4=0平行，求出切點的坐標，該點為拋物線上與線段AB的距離最大的點．

解答 解：（Ⅰ）由直線x+2y-4=0與拋物線${y^2}=\frac{1}{2}x$，聯立得A（2，1）
故令$y=\sqrt{\frac{1}{2}x}，y'=\frac{{\sqrt{2}}}{{4\sqrt{x}}}，k=\frac{1}{4}$
拋物線在A點的切線方程為x-4y+2=0．
（Ⅱ）由${y^2}=\frac{1}{2}x$及直線x+2y-4=0的位置關系可知，點P應位于直線x+2y-4=0的下方．
故令$y=-\sqrt{\frac{1}{2}x}，y'=-\frac{{\sqrt{2}}}{{4\sqrt{x}}}$，
設切點為（x₀，y₀），過切點（x₀，y₀）的切線與直線x+2y-4=0平行，
所以$-\frac{{\sqrt{2}}}{{4\sqrt{x_0}}}=-\frac{1}{2}$．所以x₀=$\frac{1}{2}$，
所以切點坐標為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
此時該點為拋物線上與線段AB的距離最大的點，
故點P（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）即為所求．
所以在拋物線的曲線AOB上存在點P（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），使△ABP的面積最大．

點評 本題考查拋物線方程，考查導數的幾何意義，考查切線方程，屬于中檔題．