Question

設f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ，（m，n∈N^*且m≥2，n≥2）的展開式中x項系數為18，則f（x）中含x²項系數的最小值是

72

．

Answer 1

分析：利用二項式定理求出展開式中x項系數為m+n=18，含x²項系數

m2-m+n2-n

2

，再利用基本不等式求出其最小值即可．

解答：解：f（x）=1+C_m¹x+C_m²x²+…C_m^mx^m+1+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ
=2+（m+n）x+

m2-m+n2-n

2

x²+…
由已知，m+n=18，
由m²+n²≥2mn，得2m²+2n²≥m²+n²+2mn=（m+n）²=324，
于是 m²+n²≥162．
所以含x²項系數

m2-m+n2-n

2

=

m2+n2-18

2

≥

162-18

2

=72．
故答案為：72．

點評：本題考查二項式定理，基本不等式求最值．考查計算、配湊轉化的能力．