Question

設n是自然數，f_n（x）=

xn+1-x-n-1

x-x-1

（x≠0，±1），令y=x+

1

x

．
（1）求證：f_n+1（x）=yf_n（x）-f_n-1（x），（n＞1）
（2）用數學歸納法證明：
f_n（x）=

yn- C 1n-1 yn-2+…+(-1)i C in-i yn-2i+…+(-1) n 2 ，(i=1，2，…， n 2 ，n我偶數) yn- C 1n-1 yn-2+…+(-1)i C in-i +…+(-1) n-1 2 C n-1 2 n+1 2 y，(i=1，2，…， n-1 2 ，n為奇數)

．

Answer 1

證明：（1）∵f_n（x）=

xn+1-x-n-1

x-x-1

，y=x+

1

x

∴yf_n（x）-f_n-1（x）=（x+

1

x

）×

xn+1-x-n-1

x-x-1

-

xn-x-n

x-x-1

=

xn+2-x-n-2

x-x-1

=f_n+1（x）
（2）f₁（x）=x+

1

x

，f₂（x）=x²+1+x^-2=y²-1，故命題對n=1，2成立
設n=m（m≥2，m為正整數，命題成立，現證命題對于n=m+1成立
①m為偶數，則m+1為奇數，由歸納假設知，對于n=m及n=m-1，有
f_m（x）=y^m-

C

1m-1

ym-2+…+…+（-1）ⁱ

C

im-i

y^m-2i+…+(-1)

m

2

①
f_m-1（x）=y^m-1-

C

1m-1

ym-3+…+（-1）^i-1

C

i-1m-i

y^m+1-2i+…+(-1)

m-2

2

C

m-2 2 m 2

y ②
∴yf_m（x）-f_m-1（x）=y^m+1

-C

1m+1-1

ym-1+…+（-1）ⁱ

C

im-i+1

y^m+1-2i+…+(-1)

m

2

C	m 2 m 2 +1

y
即命題對n=m+1成立．
②若m為奇數，則m+1為偶數，由歸納假設知，對于n=m及n=m-1，有
f_m（x）=y^m-1-

C

1m-2

ym-2+…+…+（-1）ⁱ

C

im-i

y^m-2i+…+(-1)

m-1

2

C	m-1 2 m-1 2

y③
f_m-1（x）=y^m-1-

C

1m-2

ym-3+…+（-1）^i-1

C

i-1m-i

y^m+1-2i+…+(-1)

m-1

2

C	m-1 2 m-1 2

④
用y乘③減去④，同上合并，并注意最后一項常數項為-(-1)

m-1

2

C	m-1 2 m-1 2

=(-1)

m+1

2

．
于是得到yf_m（x）-f_m-1（x）=y^m+1-C_m¹y^m-1+…+(-1)

m+1

2

，即仍有對于n=m+1，命題成立
綜上所述，知對于一切正整數n，命題成立．