Question

設函數f（x）=e^x-ax-2
（1）若f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當x∈（-∞，0）時，求f（x）的單調區間；
（3）若a=1，k為整數，且當x＞0時，（x-k）f'（x）+x+1＞0，求k的最大值．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，建立方程，可求a的值；
（2）對a分類討論，利用導數的正負，可得當x∈（-∞，0）時，求f（x）的單調區間；
（3）由題意，x＞0時，不等式等價于k＜

x+1

ex-1

+x(x＞0)，求出右邊函數的值域，即可求k的最大值．

解答：解：（1）求導函數可得f′（x）=e^x-a，則
∵f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，
∴f′（1）=0，解得a=e；
（2）f′（x）=e^x-a
若a≤0，則f′（x）＞0，∴f（x）在（-∞，0）上單調遞增；
若a＞0，令f′（x）=e^x-a=0，得x=lna
①當0＜a＜1時，x=lna＜0，∴函數的單調遞減區間是（-∞，lna）；單調增區間是（lna，0）；
②當a≥1時，x=lna＞0，∴f（x）在（-∞，0）上單調遞減；
（3）由于a=1，∴（x-k）f′（x）+x+1=（x-k）（e^x-1）+x+1，
∴x＞0時，不等式等價于k＜

x+1

ex-1

+x(x＞0)①
令g（x）=

x+1

ex-1

+x(x＞0)，則g′(x)=

ex(ex-x-2)

(ex-1)2

由①知，函數h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上單調遞增，而h（1）＜0，h（2）＞0
∴h（x）在（0，+∞）上存在唯一零點，
∴g′（x）在（0，+∞）上存在唯一零點，
設此零點為α，則α∈（1，2）
當x∈（0，α）時，g′（x）＜0；當x∈（α，+∞）時，g′（x）＞0
∴g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（α）
∵g′（α）=0，∴e^α=α+2
∴g（α）=α+1∈（2，3）
∵①等價于k＜g（α）．k∈Z
∴k的最大值為2．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查導數的幾何意義，考查函數的值域，屬于中檔題．