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已知各項均為正整數的數列{an}滿足a1<4,an+1=2an+1,且對任意n∈N*恒成立.數列{an},{bn}滿足等式2(λn+bn)=2nλn+an+1(λ>0).

(1)求證:數列{an+1}是等比數列,并求出{an}的通項公式;

(2)求數列{bn}的前n項和Sn

(3)證明存在k∈N*,使得對任意n∈N*均成立.

(1)證明:由an+1=2an+1得an+1+1=2(an+1),

∵a1>0,∴a1+1>1.∴{an+1}是等比數列.∵,

,即·對任意n∈N*恒成立.

<4.∴a1≥3.∵a1<4,a1∈N*,∴a1=3.

∴an+1=4·2n-1,∴an=2n+1-1.

(2)解:由2(λn+bn)=2nλn+an+1(λ>0),得bn=(n-1)λn+2n,

設數列{(n-1)λn}的前n項的和為Tn,∴Tn2+2λ3+3λ4+…+(n-1)λn.

λTn3+2λ4+…+(n-2)λn+(n-1)λn+1,(1-λ)Tn234+…+λn-(n-1)λn+1,

當λ=1時,Tn=1+2+…+(n-1)=,當λ≠1時,Tn=,

∴Sn=

(3)證明:存在k=1滿足題意,

2n·λn+1≤(n-1)λn+2+4(n-1)λn+2nλ2.(*)

當n≥2時,∵(n-1)λn+2+4(n-1)λn+2nλ2=(n-1)λn2+4)+2nλ2≥(n-1)λn·4λ+2nλ2>(4n-4)λn+1≥2nλn+1,

又n=1時,(*)式成立.

∴對任意n∈N*,(*)式成立.

練習冊系列答案
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n
i=1
1
1+ai
1
2
對任意n∈N恒成立.數列{an},{bn}滿足等式2(λn+bn)=2nλn+an+1(λ>0).
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bn+1
bn
bk+1
bk
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12
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