Question

設F₁、F₂分別為橢圓C：的左、右兩個焦點．
（1）若橢圓C上的點A（1，）到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標．
（2）已知圓心在原點的圓具有性質：若M、N是圓上關于原點對稱的兩點，點P是圓上的任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記作K_PM、K_PN那么K_PMK_PN=-1．試對橢圓寫出類似的性質，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知2a=4，把點A（1，）代入能推導出橢圓C的方程和焦點坐標．
（2）在橢圓上取關于原點對稱的兩點M、N，在該曲線上任取不與M、N重合的動點P，直線PM，PN的斜率存在．那么．
證明：設橢圓方程是，設M（m，n），則N（-m，-n），又設P（x，y），（x≠±m，），那么且，由此能夠推導出=．
解答：解：（1）由題意知，2a=4，∴橢圓C的方程為，把點A（1，）代入，得，解得b²=3，c²=1，∴橢圓C的方程是，焦點坐標是F₁（-1，0），F₂（1，0）
（2）在橢圓上取關于原點對稱的兩點M、N，在該曲線上任取不與M、N重合的動點P，直線PM，PN的斜率存在．那么
證明：設橢圓方程是，設M（m，n），則N（-m，-n），又設P（x，y），（x≠±m，），那么①且②
因為，由①知：，由②，所以，所以=
點評：本題考查橢圓的性質及其應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的正確選用．