Question

已知點A、B分別是橢圓=1（a＞b＞0）長軸的左、右端點，點C是橢圓短軸的一個端點，且離心率e=，S_△ABC=
（1）求橢圓方程；
（2）設直線l經過橢圓的右焦點，且與橢圓相交于P、Q兩點，求線段PQ的中點到原點的距離等于時的直線方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的離心率e=，S_△ABC=，建立方程組，求出幾何量，即可得出橢圓的方程；
（2）分類討論，直線方程與橢圓方程聯立，利用OP⊥OQ，結合韋達定理，即可得到結論．
解答：解：（1）∵橢圓的離心率e=，S_△ABC=
∴
∴
∴所求橢圓的方程為；
（2）當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=，代入橢圓方程，可得，∴|PQ|=
而線段PQ的中點到原點的距離等于，不合題意；
當直線l的斜率存在時，l的方程為y=k（x-），則OP⊥OQ
直線方程與橢圓方程聯立，可得（1+3k²）x²-x+6k²-3=0．
設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=
∴x₁x₂+y₁y₂==0
∴k=
∴直線l的方程為y=（x-）或y=-（x-）．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．