Question

已知O為坐標原點，F為橢圓C：在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為-的直線l與C交于A、B兩點，點P滿足．
（Ⅰ）證明：點P在C上；
（Ⅱ）設點P關于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明點P在C上，即證明P點的坐標滿足橢圓C的方程，根據已知中過F且斜率為-的直線l與C交于A、B兩點，點P滿足，我們求出點P的坐標，代入驗證即可．
（2）若A、P、B、Q四點在同一圓上，則我們可以先求出任意三點確定的圓的方程，然后將第四點坐標代入驗證即可．
解答：證明：（Ⅰ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
橢圓C：  ①，則直線AB的方程為：y=-x+1  ②
聯立方程可得4x²-2x-1=0，
則x₁+x₂=，x₁×x₂=-
則y₁+y₂=-（x₁+x₂）+2=1
設P（p₁，p₂），
則有：=（x₁，y₁），=（x₂，y₂），=（p₁，p₂）；
∴+=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（，1）；=（p₁，p₂）=-（+）=（-，-1）
∴p的坐標為（-，-1）代入①方程成立，所以點P在C上．

（Ⅱ）設點P關于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上．
設線段AB的中點坐標為（，），即（，），
則過線段AB的中點且垂直于AB的直線方程為：y-=（x-），即y=x+；③
∵P關于點O的對稱點為Q，故0（0.0）為線段PQ的中點，
則過線段PQ的中點且垂直于PQ的直線方程為：y=-x④；
③④聯立方程組，解之得：x=-，y=
③④的交點就是圓心O₁（-，），
r²=|O₁P|²=（--（-））²+（-1-）²=
故過平P Q兩點圓的方程為：（x+）²+（y-）²=…⑤，
把y=-x+1 …②代入⑤，
有x₁+x₂=，y₁+y₂=1
∴A，B也是在圓⑤上的．
∴A、P、B、Q四點在同一圓上．
點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的關系，向量在幾何中的應用，其中判斷點與曲線關系時，所使用的坐標代入驗證法是解答本題的關鍵．