Question

數列{a_n}滿足a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n∈N^*，n≥2），a₃=27．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）是否存在一個實數t，使得b_n=

1

2n

（a_n+t）（n∈N^*），且數列{b_n}為等差數列？若存在，求出實數t；若不存在，請說明理由；
（3）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n∈N，n≥2），a₃=27，代入可求；（Ⅱ）假設存在實數t，使得{b_n}為等差數列，從而有2b_n=b_n-1+b_n+1，．故可求；（Ⅲ）先求出數列的通項a n=(n+

1

2

)•2n-1=(2n+1)•2n-1-1，再求和．

解答：解：（Ⅰ）由a₃=27，27=2a₂+2³+1----------（1分）∴a₂=9----------（2分）
∴9=2a₁+2²+1∴a₁=2------------（3分）
（Ⅱ）假設存在實數t，使得{b_n}為等差數列．
則2b_n=b_n-1+b_n+1------------（4分）∴2×

1

2n

(a n+t)=

1

2n-1

(a n-1+t)+

1

2n+1

(a n+1+t)
∴4a_n=4a_n-1+a_n+1+t------------（5分）∴4a n=4×

a n-2n-1

2

+2a n+2n+1+t+1∴t=1------------（6分）
存在t=1，使得數列{b_n}為等差數列．------------（7分）
（Ⅲ）由（1）、（2）知：b 1=

3

2

，b 2=

5

2

------------（8分）
又{b_n}為等差數列.b n=n+

1

2

∴a n=(n+

1

2

)•2n-1=(2n+1)•2n-1-1------------（9分）
∴S_n=3×2⁰-1+5×2¹-1+7×2²-1+…+（2n+1）×2^n-1-1=3+5×2+7×2²+…+（2n+1）×2^n-1-n
∴2S_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n+1）×2ⁿ-2n∴-S_n=3+2×2+2×2²+2×2³+…+2×2^n-1-（2n+1）×2ⁿ+n----------（11分）=1+2×

1-2n

1-2

-(2n+1)×2n+n
=（1-2n）×2ⁿ+n-1S_n=（2n-1）×2ⁿ-n+1------------（13分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，存在性問題的求解，同時考查錯位相減法求和．