Question

選修4-5：不等式選講
設f（x）=|x+1|-|x-2|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤a的解集為（-∞，

1

2

]．求a的值；
（Ⅱ）若?x∈R，f（x）+4m＜m²，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）畫出函數f（x）的圖象，根據x=

1

2

時，f（x）=0；當x＜

1

2

時，f（x）＜0；當x＞

1

2

時，f（x）＞0，可得a的值．
（Ⅱ）不等式等價于f（x）＜m²-4m，因為f（x）的最小值為-3，所以問題等價于-3＜m²-4m，由此求得m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

-3，x＜-1 2x-1，-1≤x≤2 3，x≥2

，其圖象如下：…（3分）
當x=

1

2

時，f（x）=0．
當x＜

1

2

時，f（x）＜0；當x＞

1

2

時，f（x）＞0．
所以，a=0．…（6分）
（Ⅱ）不等式f（x）+4m＜m²，即f（x）＜m²-4m．
因為f（x）的最小值為-3，所以問題等價于-3＜m²-4m．
解得m＜1，或m＞3．
故m的取值范圍是（-∞，1）∪（3，+∞）．    …（10分）

點評：本題主要考查帶有絕對值函數，絕對值不等式的解法，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．