Question

已知函數，其中a為正實數，是f（x）的一個極值點．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）當時，求函數f（x）在[b，+∞）上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意，x=是函數y=f（x）的一個極值點，由f′（）=0即可求得a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=，令f′（x）=0，可求得極值點，通過對f（x）與f′（x）的變化情況列表，可求得f（x）的單調區間，再對b分＜b＜與b≥兩類討論即可求得函數f（x）在[b，+∞）上的最小值．
解答：解：f′（x）=，
（Ⅰ）因為x=是函數y=f（x）的一個極值點，
所以f′（）=0，
因此，a-a+1=0，
解得a=，
經檢驗，當a=時，x=是y=f（x）的一個極值點，故所求a的值為．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f′（x）=，
令f′（x）=0，得x₁=，x₂=，
f（x）與f′（x）的變化情況如下：

x	（-∞，）		（，）		（，+∞）
f′（x）	+		-		+
f（x）

所以，f（x）的單調遞增區間是（-∞，），（，+∞）．單調遞減區間是（，）．
當＜b＜時，f（x）在[b，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增，
所以f（x）在[b，+∞）上的最小值為f（）=，
當b≥時，f（x）在[b，+∞）上單調遞增，
所以f（x）在[b，+∞）上的最小值為f（b）==．…（13分）
點評：本題考查函數在某點取得極值的條件，考查利用導數求閉區間上函數的最值，突出分類討論思想與方程思想的考查，屬于中檔題．