Question

(1)已知拋物線y²=2px(p＞0),過焦點F的動直線l交拋物線于A、B兩點,O為坐標(biāo)原點,求證: ·為定值;

(2)由(1)可知:過拋物線的焦點F的動直線l交拋物線于A、B兩點,存在定點P,使得PA·PB為定值.請寫出關(guān)于橢圓的類似結(jié)論,并給出證明.

Answer 1

(1)證法一:若直線l垂直于x軸,則A(,p)、B(,-p).

·=()²-p²=-.                                             

若直線l不垂直于x軸,設(shè)其方程為y=k(x-),A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),

由得k²x²-p(2+k²)x+k²=0.

∴x₁+x₂=,x₁x₂=.                                           

∴·=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²(x₁-)(x₂-)

=(1+k²)x₁x₂-k²(x₁+x₂)+

=(1+k²)-·+=-.

綜上, ·=-為定值.                                      

證法二:設(shè)直線l的方程為x=my+,A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).                     

由得y²-2pmy-p²=0.

∴y₁+y₂=2pm,y₁y₂=-p².                                                

∴·=x₁x₂+y₁y₂=(my₁+)(my₂+)+y₁y₂=(1+m²)y₁y₂+m(y₁+y₂)+

=(1+m²)(-p²)-·2pm+=-.

∴·=-為定值.                                       

(2)解:關(guān)于橢圓有類似的結(jié)論:過橢圓=1(a＞b＞0)的一個焦點F的動直線l交橢圓于A、B兩點,存在定點P,使為定值.                              

證明:不妨設(shè)直線l過橢圓=1的右焦點F(c,0)(其中c=).

若直線l不垂直于x軸,則設(shè)其方程為y=k(x-c),A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).

由得(a²k²+b²)x²-2a²ck²x+(a²c²k²-a²b²)=0.

所以x₁+x₂=,x₁x₂=.                           

由對稱性可知,設(shè)點P在x軸上,其坐標(biāo)為(m,0).

所以=(x₁-m)(x₂-m)+y₁y₂

=(1+k²)x₁x₂-(m+ck²)(x₁+x₂)+m²+c²k²

=(1+k²)-(m+ck²)+m²+c²k²

=.

要使為定值,只要a⁴-a²b²-b⁴+a²m²-2a²cm=a²(m²-a²),

即m===.

此時 =m²-a²==.      

若直線l垂直于x軸,則其方程為x=c,A(c,),B(c,).取點P(,0),

有=［-］²-=.             

綜上,過焦點F(c,0)的任意直線l交橢圓于A、B兩點,存在定點P(,0),

使=為定值.