Question

如圖，正三棱柱中，是的中點，．

   （I）求證：//平面；

   （II）求二面角的大小．

Answer 1

解：解法一（I）證明：連接A₁B，設A₁B∩AB₁ = E，連接DE.

∵ABC―A₁B₁C₁是正三棱柱，且AA₁ = AB，∴四邊形A₁ABB₁是正方形，

∴E是A₁B的中點，又D是BC的中點，∴DE∥A₁C.∵DE平面AB₁D，

A₁C平面AB₁D，∴A₁C∥平面AB₁D.

   （II）解：在面ABC內作DF⊥AB于點F，在面A₁ABB₁內作FG⊥AB₁于點G，

連接DG.∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC，  ∴DF⊥平面A₁ABB₁，

∴FG是DG在平面A₁ABB₁上的射影，  ∵FG⊥AB₁， ∴DG⊥AB₁

∴∠FGD是二面角B―AB₁―D的平面角

設A₁A = AB = 1，在正△ABC中，DF=在△ABE中，，

在Rt△DFG中，，

所以，二面角B―AB₁―D的大小為

解法二：建立空間直角坐標系D―xyz，如圖，

   （I）證明：連接A₁B，設A₁B∩AB₁ = E，連接DE.設A₁A = AB = 1，

則

 

，

 

   （II）解：， ，

設是平面AB₁D的法向量，則，

故；

同理，可求得平面AB₁B的法向量是

設二面角B―AB₁―D的大小為θ，，

∴二面角B―AB₁―D的大小為