Question

三棱錐A-BCD，AB=a，CD=b，∠ABD=∠BDC，M，N分別為AD，BC的中點，P為BD上一點，則MP+NP 的最小值是

 

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Answer 1

分析：如圖，可以將三棱錐A-BCD沿著線段BD展開成平面圖形，由于，∠ABD=∠BDC，可得出展開圖中AB∥CD，連接MN與BD交點為P，此時必有P是中點，由此可求出MP+NP 的最小值

解答：解：由題意，將三棱錐A-BCD沿著線段BD展開成平面圖形，由于，∠ABD=∠BDC，可得出展開圖中AB∥CD，連接MN與BD交點為P，此時必有P是中點，由兩點間線段最短知，當P點是BD中點時，MP+NP 的值最小
當P是中點時，MP是AB的一半，NP是CD的一半，又，AB=a，CD=b，
故可得出MP+NP 的最小值是

a+b

2

故答案為

a+b

2

點評：本題考查棱錐的結構特征，解答本題關鍵是根據將立體圖形轉化為平面圖形，再由平面上兩點間線段最短確定出點P的位置，從而求出MP+NP 的最小值，在研究幾何體表面上的兩點間距離最短的問題時，展開求最小距離是一個經常采用的技巧．此類問題常借助圖形進行研究，作出符合題意的圖象是正確解答的保證．