Question

設曲線y=（ax-1）e^x在點A（x₀，y₁）處的切線為l₁，曲線y=（1-x）e^-x在點B（x₀，y₂）處的切線為l₂．若存在x0∈[0，

3

2

]，使得l₁⊥l₂，則實數a的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：根據曲線方程分別求出導函數，把A和B的橫坐標x₀分別代入到相應的導函數中求出切線l₁和切線為l₂的斜率，然后根據兩條切線互相垂直得到斜率乘積為-1，列出關于等式由x0∈[0，

3

2

]解出a=

x0-3

x 2 0 -x0-2

，然后根據

x0-3

x 2 0 -x0-2

為減函數求出其值域即可得到a的取值范圍．

解答：解：函數y=（ax-1）e^x的導數為y′=（ax+a-1）e^x，
∴l₁的斜率為k1=(ax0+a-1)ex0，
函數y=（1-x）e^-x的導數為y′=（x-2）e^-x
∴l₂的斜率為k2=(x0-2)e-x0，
由題設有k₁•k₂=-1從而有(ax0+a-1)ex0•(x0-2)e-x0=-1
∴a（x₀²-x₀-2）=x₀-3
∵x0∈[0，

3

2

]得到x₀²-x₀-2≠0，所以a=

x0-3

x 2 0 -x0-2

，
又a′=

-(x0-1)(x0-5)

(x02-x0-2)2

，另導數大于0得1＜x₀＜5，
故

x0-3

x 2 0 -x0-2

在（0，1）是減函數，在（1，

3

2

）上是增函數，
x₀=0時取得最大值為

0-3

02-0-2

=

3

2

；
x₀=1時取得最小值為1．
∴1≤a≤

3

2

故答案為：1≤a≤

3

2

點評：此題是一道綜合題，考查學生會利用導數求切線的斜率，會求函數的值域，掌握兩直線垂直時斜率的關系．