Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱AA₁⊥底面ABC，△ABC為邊長為2的正三角形，點P在A₁B上，且AB⊥CP．
（1）證明：P為A₁B中點．
（2）若A₁B⊥AC₁，求二面角B₁-PC-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AB中點Q，連接PQ，由于CQ⊥AB，AB⊥CP，根據線面垂直的判定定理可知AB⊥平面CPO，從而得到AB⊥PQ又A₁A⊥AB得A₁A∥PQ，而點Q是AB的中點，得到P為A₁B的中點；
（2）連接AB₁，取AC中點R，連接A₁R，連B₁A，B₁R，BR，過B作BH⊥B₁R，垂足為H，過B作BG⊥PC，連接GH，根據二面角的平面角的定義可知∠BGH為二面角B₁-PC-B的平面角，在三角形BGH中求出此角即可．
解答：解：（1）證明：取AB中點Q，∴CQ⊥AB
又∵AB⊥CP，∴AB⊥平面CPO∴AB⊥PQ，A₁A⊥AB
得A₁A∥PQ，點Q是AB的中點
∴P為A₁B的中點（4分）
（2）連接AB₁，取AC中點R，連接A₁R，
則BR⊥平面A₁C₁CA，∴BR⊥AC₁，由已知A₁B⊥AC₁，∴A₁R⊥AC₁，∴△AC₁C～△A₁RA∴，∴（6分）
則，則AC=2
連B₁A，B₁R，BR，∵AC⊥平面B₁BR，∴平面B₁AC⊥平面B₁BR，
平面B₁AC∩平面B₁BR=B₁R，過B作BH⊥B₁R，垂足為H，
則BH⊥平面B₁PC，過B作BG⊥PC，
連接GH，那么∠BGH為二面角B₁-PC-B的平面角（8分）
在△B₁BR中，在△PBC中，（10分）∴∴（12分）
點評：本題主要考查了直線與平面垂直的性質，以及二面角的度量，考查空間想象能力，幾何邏輯推理能力，以及計算能力，屬于常規題．