Question

試問數列lg100，lg(100sin

π

4

)，lg(100sin2

π

4

)，…，lg(100sinn-1

π

4

)前多少項的和的值最大？并求這最大值．（lg2=0.301）

Answer 1

分析：根據題意得該數列的第k項的通項a_k，得到這個數列是遞減等差數列，且其首項為2．要使前k項的和最大，必須前k項都是正數或0，而從第k+1項起以后都是負數，得到a_k≥0且a_k+1＜0，解得k的取值范圍，求出正整數解得到k的值，然后利用等差數列的前k項和的公式得到和的最大值即可．

解答：解：該數列的第k項為：ak=lg(100sinn-1

π

4

)=2-

1

2

(k-1)lg2
所以這個數列是遞減等差數列，且其首項為2．
要使前k項的和最大，必須前k項都是正數或0，
而從第k+1項起以后都是負數因此，
k應適合下列條件：

2- 1 2 (k-1)lg2≥0，(1) 2- 1 2 [(k-1)-1]lg2＜0，(2)

解此不等式組：由（1）得k≤14.2由（2）得k＞13.2
又k∈N，∴k=14
取k=14，前14項的和
S=

a1+a14

2

×14=28-

91

2

×0.3010≈14.30.

點評：此題考查學生會進行對數的運算，會根據要使數列前k項的和最大，必須前k項都是正數或0，而從第k+1項起以后都是負數列出不等式求出數列和的最大值．