Question

如圖，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點.
（1）求證：AB₁⊥面A₁BD；
（2）求二面角A－A₁D－B的余弦值；
（3）求點C到平面A₁BD的距離.

Answer 1

（1）證明過程見解析；（2）；（3）

試題分析：（1）取中點，連結，取中點，以為原點，，，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，寫出坐標，進而得出向量坐標，利用向量垂直時坐標關系可證明，，可得平面；（2）令平面的法向量為，則，可得一法向量，由（1）為平面的法向量,那么二面角的余弦值即為，；（3）可求，．為平面的法向量,所以C到平面A₁BD的距離.
解：（1）取中點，連結．為正三角形，,
在正三棱柱中，平面平面，
平面,

取中點，以為原點，，，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，
，，．
，，
，,
平面．     4分
（2）設平面的法向量為,
，,
，，
令得為平面的一個法向量,
由（1）知平面， 為平面的法向量,
，,
二面角的余弦值為．                  9分
（3）由（2），為平面法向量，
,
點到平面的距離．    12分