Question

【題目】如圖，在某商業區周邊有 兩條公路和，在點處交匯，該商業區為圓心角，半徑3的扇形，現規劃在該商業區外修建一條公路，與，分別交于，要求與扇形弧相切，切點不在，上.

（1）設試用表示新建公路的長度，求出滿足的關系式，并寫出的范圍；

（2）設，試用表示新建公路的長度，并且確定的位置，使得新建公路的長度最短.

Answer 1

【答案】（1）；（2）時取等號.此時時，新建公路的長度最短.

【解析】試題分析：（1）由余弦定理求出的長，建立直角坐標系，寫出直線的方程，利用與扇形弧相切，得出的關系式，再寫出的取值范圍；

（2）根據，求出的值，寫出的解析式，利用三角函數與基本不等式求出它的最小值.

試題解析：（1）在中，；

由余弦定理得： ；所以；

如圖，以為原點，所在直線為軸，建立直角坐標系，則，

所以直線的方程為，即；

因為與扇形弧相切，所以，

即.

（2）因為是圓的切線，所以.

在中，，在中，，

所以 ，

所以，，

設，則，

當且僅當，即時取等號.

此時時，新建公路的長度最短.