Question

某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級污水處理池，池的深度一定（平面圖如圖所示），如果池四周圍墻建造單價為400元/米，中間兩道隔墻建造單價為248元/米，池底建造單價為80
元/米²，水池所有墻的厚度忽略不計．
（1）試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價；
（2）若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16米，試設計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價．

Answer 1

分析：（1）污水處理池的底面積一定，設寬為x米，可表示出長，從而得出總造價f（x），利用基本不等式求出最小值；
（2）由長和寬的限制條件，得自變量x的范圍，判斷總造價函數f（x）在x的取值范圍內的函數值變化情況，求得最小值．

解答：解：（1）設污水處理池的寬為x米，則長為

162

x

米．
則總造價f（x）=400×（2x+

2×162

x

）+248×2x+80×162=1296x+

1296×100

x

+12960
=1296（x+

100

x

）+12960≥1296×2×

x• 100 x

+12960=38880（元），
當且僅當x=

100

x

（x＞0），即x=10時，取等號．
∴當長為16.2米，寬為10米時總造價最低，最低總造價為38880元．
（2）由限制條件知

0＜x≤16 0＜ 162 x ≤16

，∴10

1

8

≤x≤16．
設g（x）=x+

100

x

（10

1

8

≤x≤16），
由函數性質易知g（x）在[10

1

8

，16]上是增函數，
∴當x=10

1

8

時（此時

162

x

=16），g（x）有最小值，即f（x）有最小值
1296×（10

1

8

+

800

81

）+12960=38882（元）．
∴當長為16米，寬為10

1

8

米時，總造價最低，為38882元．

點評：本題考查了建立函數解析式，利用基本不等式求函數最值的能力，還考查了函數的單調性和運算能力．