Question

【題目】 【2017江西4月質(zhì)檢】如圖，四棱錐中，側(cè)面底面， ， ， , ， ，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)在棱上，且平面.

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】試題分析：連接交于點(diǎn)，根據(jù)三角形相識(shí)，可得， ，由勾股定理可得是直角三角形，進(jìn)而得，再由面面垂直判定定理可得結(jié)論；（2）以， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量與平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析：（1）如圖連接交于點(diǎn)，因?yàn)?/span>平面，所以，由，所以，又，所以，

所以， ，

又因?yàn)?/span>，所以是直角三角形，

又，所以，

又因?yàn)閭?cè)面底面，所以平面.

（2）因?yàn)?/span>， ，所以，有，如圖，以， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則， ， ，

，所以，

所以 ，

設(shè)平面的法向量為，

則，

，令，則，所以，

又因?yàn)槠矫?/span>的法向量，

所以，

即所求二面角的余弦值是.