Question

如圖，已知矩形油畫的長為a，寬為b．在該矩形油畫的四邊鑲金箔，四個角（圖中斜線區域）裝飾矩形木雕，制成一幅矩形壁畫．設壁畫的左右兩邊金箔的寬為x，上下兩邊金箔的寬為y，壁畫的總面積為S．
（1）用x，y，a，b表示S；
（2）若S為定值，為節約金箔用量，應使四個矩形木雕的總面積最大．求四個矩形木雕總面積的最大值及對應的x，y的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根據圖形由9個小矩形構成，分別求出面積求和即可；
（2）依題意，即求4xy的最大值，根據基本不等式可得S≥+4xy+ab，當且僅當bx=ay時等號成立，令t=，則t＞0，上述不等式可以為4t²+4t+ab-S≤0，解不等式可求出四個矩形木雕總面積的最大值及對應的x，y的值．
解答：解：（1）壁畫由9個小矩形構成，其面積為9個矩形的面積和
∴壁畫的總面積為S=2bx+2ay+4xy+ab，x，y＞0
（2）依題意，即求4xy的最大值
因為x，y＞0，所以2bx+2ay≥2，從而S≥4+4xy+ab，當且僅當bx=ay時等號成立
令t=，則t＞0，上述不等式可以為4t²+4t+ab-S≤0
解得≤t≤
因為t＞0，所以t≤，從而xy≤
由
解得（舍去負值）
所以當x=，y=時，四個矩形木雕的總面積最大，最大值為ab+S-2
點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用，同時考查了計算能力，解題的關鍵是解方程，屬于中檔題．