Question

已知圓的方程是：x²+y²-2ax+2（a-2）y+2=0，其中a≠1，且a∈R．
（1）求證：a取不為1的實數時，上述圓恒過定點；
（2）求與圓相切的直線方程；
（3）求圓心的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）把給出的方程展開整理，把含有a的項放在一起后提取a，然后聯立方程組求解定點；
（2）因為a≠1，所以圓心縱坐標和圓過定點的縱坐標不相等，則圓的切線斜率存在，直接設出切線的斜截式方程，由圓心到切線的距離等于半徑列等式，通過比較系數求得切線的斜率和截距，則切線方程可求；
（3）由圓的方程求出圓心坐標，然后消掉參數a即可求得圓心的軌跡方程．

解答：解：（1）當a=1時，方程x²+y²-2ax+2（a-2）y+2=0化為（x-1）²+（y-1）²=0，
即x=y=1．方程表示定點（1，1）．
當a≠1時，將方程x²+y²-2ax+2（a-2）y+2=0整理得：x²+y²-4y+2-a（2x-2y）=0．
令

x2+y2-4y+2=0 x-y=0

，
解得：

x=1 y=1

，
∴圓x²+y²-2ax+2（a-2）y+2=0過定點（1，1）；
（2）由圓x²+y²-2ax+2（a-2）y+2=0，得圓的圓心坐標為（a，2-a）（a≠1），半徑為

2

|a-1|．
設所求切線方程為y=kx+b，即kx-y+b=0，
則圓心到直線的距離應等于圓的半徑，即

|ka+(a-2)+b|

k2+1

=

2

|a-1|恒成立．
整理得等式：2（1+k）²a²-4（1+k²）a+2（1+k²）=（k+1）²a²+2（b-2）（k+1）a+（b-2）²恒成立．
比較系數可得：

2(1+k2)=(k+1)2 -4(1+k2)=2(b-2)(k+1) 2(1+k2)=(b-2)2

解得：k=1，b=0，
∴所求的切線方程是y=x；
（3）圓心坐標為（a，2-a）（a≠1），又設圓心坐標為（x，y），
則有：

x=a y=2-a

，消去參數得x+y-2=0（x≠1）．
∴所求的圓心的軌跡方程為x+y-2=0（x≠1）．

點評：本題考查了軌跡方程，訓練了圓系方程過定點的求法，訓練了利用比較系數法求待求系數，考查了參數方程化普通方程，屬中高檔題．