Question

已知函數f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1（x∈R）
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期及在區間[0，]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x）=，x∈[，]，求cos2x的值．

Answer 1

【答案】分析：先將原函數化簡為y=Asin（ωx+φ）+b的形式
（1）根據周期等于2π除以ω可得答案，又根據函數圖象和性質可得在區間[0，]上的最值．
（2）將x代入化簡后的函數解析式可得到sin（2x+）=，再根據x的范圍可求出cos（2x+）的值，
最后由cos2x=cos（2x+）可得答案．
解答：解：（1）由f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1，得
f（x）=（2sinxcosx）+（2cos²x）-1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）
所以函數f（x）的最小正周期為π．
因為f（x）=2sin（2x+）在區間[0，]上為增函數，在區間[，]上為減函數，
又f（0）=1，f（）=2，f（）=-1，所以函數f（x）在區間[0，]上的最大值為2，最小值為-1．
（Ⅱ）由（1）可知f（x）=2sin（2x+）
又因為f（x）=，所以sin（2x+）=
由x∈[，]，得2x+∈[，]
從而cos（2x+）=-=-．
所以
cos2x=cos[（2x+）-]=cos（2x+）cos+sin（2x+）sin=．
點評：本小題主要考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦、函數y=Asin（ωx+φ）的性質、同角三角函數的基本關系、兩角差的余弦等基礎知識，考查基本運算能力．