Question

某城市有一塊不規則的綠地如圖所示，城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環境標志，小李、小王設計的底座形狀分別為△ABC、△ABD，經測量AD=BD=14，BC=10，AC=16，∠C=∠D．
（I）求AB的長度；
（Ⅱ）若建造環境標志的費用與用地面積成正比，不考慮其他因素，小李、小王誰的設計使建造費用最低，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理，計算AB，在△ABD中，由余弦定理及∠C=∠D，計算AB，由此可得cosC=

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，進而可得△ABD是等邊三角形，從而可求A、B兩點的距離；
（Ⅱ）小李的設計符合要求．由已知建造費用與用地面積成正比，故選擇建造環境標志費用較低，即用地面積較少．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得AB²=AC²+BC²-2AC•BCcosC=16²+10²-2•16•10cosC①
在△ABD中，由余弦定理及∠C=∠D整理得AB²=AD²+BD²-2AD•BDcosD=14²+14²-2•14²cosC②（2分）
由①②得：14²+14²-2•14²cosC=16²+10²-2•16•10cosC
整理可得 cosC=

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2

，（4分）
又∠C為三角形的內角，所以C=60°，
∵∠C=∠D，AD=BD，∴△ABD是等邊三角形，
∴AB=14，即A、B兩點的距離為14（6分）
（Ⅱ）小李的設計符合要求．
理由如下：S△ABD=

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AD•BDsinDS△ABC=

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AC•BCsinC
因為AD•BD＞AC•BC（10分）
所以S_△ABD＞S_△ABC
由已知建造費用與用地面積成正比，故選擇△ABC建造環境標志費用較低．
即小李的設計符合要求．（12分）

點評：本題考查余弦定理的運用，考查三角形面積的計算，考查利用數學知識解決實際問題的能力，屬于中檔題．