Question

直線l與函數y=sinx（x∈[0，π]）的圖象相切于點A，且l∥OP，O為坐標原點，P為圖象的極值點，l與x軸交于點B，過切點A作x軸的垂線，垂足為C，則

BA

•

BC

=

 

．

Answer 1

分析：直線l的斜率即為OP的斜率，即函數y=sinx在點A處的導數，得到 cosx₁=

2

π

，點斜式寫出
AB直線的方程，求出點B的橫坐標，由

BA

•

BC

=|

BA|

•|

BC

| cos∠ABC=|

BC

|2=（x₁-x_B）² 求出結果．

解答：解：∵P（

π

2

，1），直線l的斜率即為OP的斜率

1-0

π 2 -0

=

2

π

，設 A（x₁，y₁），
由于函數y=sinx在點A處的導數即為直線l的斜率，
∴cosx₁=

2

π

，y₁=sinx₁=

1-cos2x1

=

1- 4 π2

，
∴AB直線的方程為  y-y₁=

2

π

 （x-x₁ ），
令y=0 可得點B的橫坐標 x_B =x₁-

π

2

 y₁，

BA

•

BC

=|

BA|

•|

BC

| cos∠ABC=|

BC

|2=（x₁-x_B）² =(

π

2

y1)2=

π2

4

×（1-

4

π2

）=

π2-4

4

，
故答案為：

π2-4

4

．

點評：本題考查直線的斜率公式，函數的導數與斜率的關系，求直線的點斜式方程，以及兩個向量數量積的定義，屬于中檔題．