Question

    已知函數，函數．

    ( I)試求f (x)的單調區間。

    (II)若f (x)在區間上是單調遞增函數，試求實數a的取值范圍：

    (ⅡI)設數列是公差為1．首項為l的等差數列，數列的前n項和為，

    求證：當時，.

Answer 1

解：（Ⅰ）=，所以，,

因為，，所以，令，，

所以的單調遞增區間是；的單調遞減區間是；………4分

（Ⅱ）若在是單調遞增函數，則恒成立，即恒成立

即，因為，所以.                …………….7分

（Ⅲ）設數列是公差為1首項為1的等差數列，所以，=1++…+，

當時，由（Ⅱ）知：=+在上為增函數，

=-1，當時，，所以+，即

所以;

令，則有，當，有

則,即,所以時,

所以不等式成立.

令且時，

將所得各不等式相加，得

即

（且）．