Question

如果數列{a_n}的前n項和為S_n＝an²＋bn＋c(a、b、c為常數)，求證：數列{a_n}是等差數列的充要條件是c＝0．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)充分性：由c＝0數列{an}是等差數列． 　　由公式an＝＝ 　　∴an＝2an＋b－a． 　　又an－an－1＝(2an＋b－a)－[2a(n－1)＋b－a]＝2a(常數)． 　　∴{an}是等差數列． 　　(2)必要性：由數列{an}是等差數列c＝0． 　　由公式an＝＝ 　　∴a1＝a＋b＋c，a2＝4a＋b－a＝3a＋b，a3＝6a＋b－a＝5a＋b． 　　∵{an}是等差數列．∴a3－a2＝a2－a1． 　　∴2a＝2a－c．∴c＝0． 　　綜上，數列{an}是等差數列的充要條件是c＝0．