Question

直線L經(jīng)過(guò)雙曲

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）右焦點(diǎn)F與其一條漸近線垂直且垂足為A，與另一條漸近線交于B點(diǎn)，

AF

=

1

2

FB

，則雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  3

  4

• B、

  2 3

  3

• C、

  3

• D、2

Answer 1

分析：設(shè)一漸近線OA的方程為 y=

b

a

x，設(shè)A（m，

bm

a

），B（n，-

bn

a

），由

AF

=

1

2

FB

，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再由FA⊥OA，斜率之積等于-1，求出a²=3b²，代入e=

c

a

=

a2+b2

a

 進(jìn)行運(yùn)算．

解答：解：由題意得右焦點(diǎn)F（c，0），設(shè)一漸近線OA的方程為 y=

b

a

x，則另一漸近線OB的方程為 y=-

b

a

x，
設(shè)A（m，

bm

a

），B（n，-

bn

a

），∵

AF

=

1

2

FB

，∴（c-m，-

bm

a

）=

1

2

（n-c，-

bn

a

），
∴c-m=

n-c

2

，-

bm

a

=-

bn

2a

，∴m=

3c

4

，n=

3c

2

，
∴A（

3c

4

，

3bc

4a

 ）．由FA⊥OA可得，斜率之積等于-1，即

3bc 4a -0

3c 4 -c

•

3bc 4a

3c 4

=-1，
∴a²=3b²，∴e=

c

a

=

a2+b2

a

=

2 3

3

，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．