Question

設(shè)命題p：關(guān)于x的不等式2^|x-2|＜a的解集為∅；命題q：函數(shù)y=lg（ax²-x+a）的值域是R．如果命題p和q有且僅有一個(gè)正確，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解不等式2^|x-2|＜a，我們可以求出使命題P為真時(shí)，參數(shù)a的取值范圍，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及二次函數(shù)性質(zhì)的充要條件，我們易求出命題q為真時(shí)，參數(shù)a的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)P和Q有且僅有一個(gè)正確，分P真Q假或者P假Q(mào)真兩種情況討論，最后綜合討論結(jié)果，即可得到答案．

解答：解：由不等式2^|x-2|＜a的解集為∅，得a≤1．…（3分）
由函數(shù)y=lg（ax²-x+a）的值域是R知ax²-x+a要取到所有正數(shù)．…（4分）
故

a＞0 △=1-4a2≥0

⇒0＜a≤

1

2

…（8分）或a=0，即0≤a≤

1

2

（10分）
由命題p和q有且僅有一個(gè)正確，
ⅰ：若P真Q假，則a＜0或

1

2

＜a≤1；
ⅱ：若P假Q(mào)真，則a∈∅．
得a的取值范圍是(-∞，0)∪(

1

2

，1]…（12分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，其中根據(jù)解指數(shù)形式，求出命題P為真時(shí)，參數(shù)a的取值范圍，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及二次函數(shù)的性質(zhì)求出命題Q為真時(shí)，參數(shù)a的取值范圍，是解答本題的關(guān)鍵．