Question

【題目】某矩形花壇ABCD長AB=3m，寬AD=2m，現將此花壇在原有基礎上有拓展成三角形區域，AB、AD分別延長至E、F并使E、C、F三點共線．

（1）要使三角形AEF的面積大于16平方米，則AF的長應在什么范圍內？
（2）當AF的長度是多少時，三角形AEF的面積最小？并求出最小面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：設DF=x，AF=x+2，

∵△FDC∽△CBE，

∴ = ，

∴BE= ，

∴S△AEF= （x+2）（ +3）= （12+3x+ ），

∵三角形AEF的面積大于16平方米，

∴ （12+3x+ ）＞16，

∴（3x﹣2）（x﹣6）＞0，

∴x＞6或0＜x＜ ，

∴2＜AF＜ 或AF＞8

（2）解： ，

當 ，即AF=4時取得最小

【解析】（1）由題意設出DF=x，AF=x+2，因為△FDC∽△CBE，則對應線段成比例可知BE，表示出三角形AEF的面積，令其大于16得到關于x的一元二次不等式，求出解集即可；（2）利用基本不等式得出函數的最小值即可．
【考點精析】利用基本不等式在最值問題中的應用對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”．