Question

已知圓O和圓K是球O的大圓和小圓，其公共弦長等于球O的半徑，OK=

3

2

，且圓O與圓K所在的平面所成的一個二面角為60°，則球O的表面積等于（　　）

A．12π

B．16π

C．9π

D．24π

Answer 1

分析：設C是兩圓的公共弦AB的中點，連結KC、OC，則OC⊥AB，KC⊥AB，可得∠KCO是題中二面角的平面角，得∠KCO=60°．Rt△KOC中算出OC=

3

，再在Rt△AOC中根據勾股定理，得R²=

1

4

R²+3，解得R=2，即可得出球O的表面積大小．

解答：解：設兩圓的公共弦長為AB，C為AB的中點，連結KC、OC
則OC⊥AB，KC⊥AB，
∴∠KCO就是圓O與圓K所在的平面所成的二面角的平面角，即∠KCO=60°
∵Rt△KOC中，OK=

3

2

，∴OC=

OK

sin60°

=

3

Rt△AOC中，OA²=OC²+AC²，即R²=

1

4

R²+3，得R=2
因此，球O的表面積S=4πR²=16π
故選：B

點評：本題給出球O滿足的條件，求球的表面積大小．著重考查了球的截面圓性質、二面角的平面角的定義和球的表面積公式等知識，屬于中檔題．