Question

若(

x

+

1

2  4 x

)n展開式中前三項的系數成等差數列，求：
（1）展開式中所有x的有理項；
（2）展開式中系數最大的項．

Answer 1

分析：由題意需先求出展開式中前三項的系數利用它們成等差數列求出n，
（1）由公式Tr+1=

C

8 r

(

x

)8-r(

1

2 4 x

)r=(

1

2

)r

C

8 r

x

16-3r

4

，故可知r=0，4，8時，所得的項為有理項，代入求之即可；
（2）展開式中系數最大的項滿足這樣的條件，比其前的項大，也比其后的項大，由此關系可得限制條件．解不等式求出r既得．

解答：解：易求得展開式前三項的系數為 1，

1

2

C

1 n

，

1

4

C

2 n

．（2分）
據題意 2×

1

2

C

1 n

=1+

1

4

C

2 n

（3分）?n=8（4分）
（1）設展開式中的有理項為T_r+1，由Tr+1=

C

r 8

(

x

)8-r(

1

2 4 x

)r=(

1

2

)r

C

r 8

x

16-3r

4

∴r為4的倍數，又0≤r≤8，∴r=0，4，8．（6分）
Tr+1=

C

r 8

(

x

)8-r(

1

2 4 x

)r=(

1

2

)r

C

r 8

x

16-3r

4

故有理項為：T1=(

1

2

)0

C

0 8

x

16-3×0

4

=x4，
T5=(

1

2

)4

C

4 8

x

16-3×4

4

=

35

8

x，
T9=(

1

2

)8

C

8 8

x

16-3×8

4

=

1

256x2

．（8分）
（2）設展開式中T_r+1項的系數最大，則：(

1

2

)r

C

r 8

≥(

1

2

)r+1

C

r+1 8

且(

1

2

)r

C

r 8

≥(

1

2

)r-1

C

r-1 8

（10分）
?r=2或r=3
故展開式中系數最大項為：T3=(

1

2

)2

C

2 8

x

16-3×2

4

=7x

5

2

T4=(

1

2

)3

C

3 8

x

16-3×3

4

=7x

7

4

．（12分）

點評：本題考查二項式系數的性質，解題的關鍵是熟練掌握理解二項式系數的性質及相關的公式，求二項式系數的最大項是考試的一個熱點，掌握其轉化的條件，及轉化的思想，在一些求最值的問題中，此做法有推廣的必要．