Question

（2013•江蘇）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），右焦點為F，右準線為l，短軸的一個端點為B，設原點到直線BF的距離為d₁，F到l的距離為d₂，若d₂=

6

d1，則橢圓C的離心率為

3

3

．

Answer 1

分析：根據“d₂=

6

d1”結合橢圓的半焦距，短半軸，長半軸構成直角三角形，再由等面積法可得d₁=

bc

a

，從而得到a與b的關系，可求得

b

a

，從而求出離心率．

解答：解：如圖，準線l：x=

a2

c

，d₂=

a2

c

-c=

b2

c

，
由面積法得：d₁=

bc

a

，
若d₂=

6

d1，則

b2

c

=

6

×

bc

a

，整理得

6

a²-ab-

6

b2=0，
兩邊同除以a²，得

6

(

b

a

)2+（

b

a

）-

6

=0，解得

b

a

=

6

3

．
∴e=

1-( b a )2

=

3

3

．
故答案為：

3

3

．

點評：本題主要考查橢圓的幾何性質，即通過半焦距，短半軸，長半軸構成的直角三角形來考查其離心率，還涉及了等面積法．