Question

（2013•蚌埠二模）已知數列a，b，c是各項均為正數的等差數列，公差為d（d＞0），在a，b之間和b，c之間共插入n個實數，使得這n+3個數構成等比數列，其公比為q．
（I）求證：|q|＞1；
（II）若a=1，n=1，求d的值．

Answer 1

分析：（1）先由條件求出知qn+2=

c

a

，又有c=a+2d代入即可得|qⁿ⁺²|＞1，就可證明結論；
（2）先求出b=1+d，c=1+2d，然后對插入的數分所在位置所存在的兩種情況分別求出d的值即可．

解答：解：（1）由題意知qn+2=

c

a

，c=a+2d，
又a＞0，d＞0，可得qn+2=

c

a

=1+

2d

a

＞1
即|qⁿ⁺²|＞1，故|q|ⁿ⁺²＞1，又n+2是正數，故|q|＞1．
（2）由a，b，c是首項為1、公差為d的等差數列，故b=1+d，c=1+2d，
若插入的這一個數位于a，b之間，則1+d=q²，1+2d=q³，
消去q可得（1+2d）²=（1+d）³，即d³-d²-d=0，其正根為d=

1+ 5

2

若插入的這一個數位于b，c之間，則1+d=q，1+2d=q³，
消去q可得1+2d=（1+d）³，即d³+3d²+d=0，此方程無正根．
故所求公差d=

1+ 5

2

點評：本題綜合考查等差數列與等比數列的基礎知識以及分類討論思想在解題中的應用．