Question

已知橢圓及直線l：y=x+m．
（1）當直線l與橢圓有公共點時，求實數m的取值范圍；
（2）若直線l過橢圓右焦點，并與橢圓交于A、B兩點，求弦AB之長．

Answer 1

解：（1）由 消y得，3x²+4mx+2m²-2=0
由于直線l與橢圓有公共點∴△=16m²-12（2m²-2）≥0，得m²≤3
故-≤m≤
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l過橢圓右焦點（1，0）
此時直線l：y=x-1代入橢圓方程，得3x²-4x=0
故x=0或x=，，有|AB|=|x₁-x₂|=
分析：（1）當直線l與橢圓有公共點時，兩方方程聯立，消去一個未知數，得到的關于另一個未知數的一元二次方程中，△≥0，即可得到m的范圍．
（2）先求出過橢圓右焦點的直線方程，在于橢圓方程聯立，消去y，得到關于x的一元二次方程，求兩根之和，兩根之積，再利用弦長公式求弦AB之長．
點評：本題考查了直線與橢圓位置關系的判斷，以及弦長公式的應用，屬于基礎題．