Question

設(shè)n∈N^*且n≥2,證明不等式＜1+＜2.

Answer 1

證明：(1)先證左端不等號成立.

①n=2時,1+成立.

②設(shè)n=k(k≥2)時,1+＞成立.

當(dāng)n=k+1時,有1+

=

=

＞,

即n=k+1時,1+成立.

由①②知,對于任何n∈N^*(n≥2)不等式左端成立.

(2)再證右端不等式,

①當(dāng)n=2時,1+成立.

②假設(shè)n=k時,＜成立,

當(dāng)n=k+1時,,

下面證明,

∵(基本不等式放縮)==0,

∴,

即當(dāng)n=k+1時,成立.

由①②知對任意n∈N^*(n≥2)不等式右端成立.

綜上兩部分證明知原不等式成立.