Question

如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點，M、N分別是PC、AD的中點．
（Ⅰ）求證：MN∥平面PAB；
（Ⅱ）若MN=BA=2，PA=2

3

，求異面直線PA與MN所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）用線面平行的判定定理證明，須先作輔助線證明線線平行
（2）需把異面直線通過作輔助線轉化為共面直線，在三角形中求角

解答：（1）證明：取PB的中點F，連接AF、MF
∵AN

∥

.

1

2

BC ， MF

∥

.

1

2

BC
∴AN

∥

.

MF
∴四邊形AFMN是平行四邊形
∴AF∥MN
又∵MN不在面PAB內，AF在面PAB內
∴MN∥面PAB
（2）解：連接AC、BD交于點O，連接OM、ON，則OM 

∥

.

 

1

2

PA ， ON

∥

.

1

2

AB
則異面直線PA與MN所成的角等于∠OMN或其補角
∵MN=2，ON=1，OM=

3

∴在△OMN中，有余弦定理得：cos∠OMN=

OM2+MN2-ON2

2OM•ON

=

3

2

∴異面直線PA與MN所成的角為

π

6

點評：本題（1）考察線面平行的證明，用線面平行的判定定理，須把線面平行問題轉化為線線平行問題；（2）考察異面直線的夾角，須通過輔助線把異面直線轉化為共面直線，在三角形中用余弦定理解決，間接考察解三角形問題．屬簡單題