Question

已知函數f(x)對一切x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y).

(1)求證：f(x)在R上滿足f(－x)=－f(x);?

(2)若x>0時，f(x)<0,判斷f(x)的單調性.??

Answer 1

解：(1)證明:令x=y=0,可得f(0)=0,?

令y=－x,可得f(x)+f(－x)=f(x－x)=f(0)=0,?

所以－f(x)=f(－x).?

(2)任取x₁、x₂∈R,且x₁<x₂,?

則f(x₂)－f(x₁)=f(x₂)+f(－x₁)=f(x₂－x₁),??

∵x₂>x₁,∴x₂－x₁>0.?

由條件知f(x₂－x₁)<0,?

∴f(x₂)<f(x₁).?

∴f(x)在R上是單調減函數.?

點評:因等式f(x+y)=f(x)+f(y)對x、y∈R成立，利用賦特殊值法進行推證.?

對于抽象函數，都有其實際背景，如本題由f(a+b)=f(a)·f(b),可以聯想到就是后面即將學習的指數函數y=a^x所具有的性質.