Question

橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)與拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的一個交點為M，拋物線C₂在點M處的切線過橢圓C₁的右焦點F．
（Ⅰ）若M(2，

2 5

5

)，求C₁和C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）求橢圓C₁離心率的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)M在拋物線C₂上，求出拋物線方程，進(jìn)而得到C₂在點M處的切線方程求出右焦點F的坐標(biāo)，再結(jié)合M在橢圓C₁上即可求出橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）先設(shè)M(x0，

1

2p

x0 2)，由y=

1

2p

x2得y′=

1

p

x，進(jìn)而得到C₂在點M處的切線方程求出右焦點F的坐標(biāo)；再結(jié)合M在橢圓C₁上以及p＞0求出a，b之間的關(guān)系即可得到橢圓C₁離心率的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）把M(2，

2 5

5

)代入C₂：x²=2py（p＞0）得p=

5

，
故C₂：x2=2

5

y（2分）
由y=

5

10

x2得y′=

5

5

x，從而C₂在點M處的切線方程為y-

2 5

5

=

2 5

5

(x-2)（3分）
令y=0有x=1，F(xiàn)（1，0），（4分）
又M (2，

2 5

5

)在橢圓C₁上 
所以

4 a2 + 4 5b2 =1 a2-b2=1

，解得a²=5，b²=4，故C₁：

x2

5

+

y2

4

=1（6分）
（Ⅱ）設(shè)M(x0，

1

2p

x0 2)，由y=

1

2p

x2得y′=

1

p

x，
從而C₂在點M處的切線方程為y-

x02

2p

=

x0

p

(x-x0)（8分）
設(shè)F（c，0），代入上式得x₀=2c，
因為

x02

a2

+

y02

b2

=1，
所以y02=b2(1-

x02

a2

)=b2(1-

4c2

a2

)=

b2

a2

(4b2-3a2)（10分）
又x₀²=2py₀，所以p=

x 02

2y0

=

2c2

b a 4b2-3a2

=

2a(a2-b2)

b 4b2-3a2

，（11分）
從而4b²＞3a²，即4c²＜a²，e2＜

1

4

，e＜

1

2

，
所以橢圓C₁離心率的取值范圍為0＜e＜

1

2

．（13分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．其中涉及到拋物線以及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了基本的分析問題的能力和基礎(chǔ)的運算能力．