Question

如圖，已知BA是⊙O的直徑，AD是⊙O的切線，割線BD、BF分別交⊙O于C、E，連接AE、CE．
（1）求證：C、E、F、D四點共圓；
（2）求證：BE•BF=BC•BD．

Answer 1

證明：（1）∵BA是⊙O的直徑
∴∠EBA+∠EAB=90°
∵A、B、C、E四點共圓
∴∠DCE=∠EAB
∵AD是⊙O的切線
∴∠DAB=90°
∵∠DFE=∠EBA+∠DAB
∴∠DCE+∠DFE=∠EAB+∠EBA+∠DAB=180°
∴C、E、F、D四點共圓；
（2）∵C、E、F、D四點共圓
∴∠BCE=∠D
∵∠CBE=∠FBD
∴△BCE∽△BFD
∴
∴BE•BF=BC•BD．
分析：（1）利用對角互補，四點共圓，即證明∠DCE+∠DFE=180°；
（2）利用C、E、F、D四點共圓，證明△BCE∽△BFD，即可得到結論．
點評：本題考查圓的性質，考查四點共圓，考查三角形相似，屬于中檔題．