Question

如果對于函數f（x）的定義域內任意兩個自變量的值x₁，x₂，當x₁＜x₂時，都有f（x₁）≤f（x₂）且存在兩個不相等的自變量m₁，m₂，使得f（m₁）=f（m₂），則稱f（x）為定義域上的不嚴格的增函數．已知函數g（x）的定義域、值域分別為A，B，A={1，2，3}，B⊆A且g（x）為定義域A上的不嚴格的增函數，那么這樣的函數g（x）共有

9

個．

Answer 1

分析：根據本題所給的定義，以及函數的定義對所給的函數進行討論，解決此題要分三類，三對一的對應，二對一的對應，一對一的對應三種來研究，進而得到答案．

解答：解：由題意，若函數g（x）是三對一的對應，則有{1，2，3}對應1；{1，2，3}對應2；{1，2，3}對應3三種方式，故此類函數有三種．
若函數是二對一的對應，則有{1，2}對1，3對2；{1，2}對1，3對3，共有兩種；
 1對1，{2，3}對2；1對1，{2，3}對3，有兩種；1對2，{2，3}對3，共有一種．
若函數是一對一的對應，則1對1，2對2，3對3，共一種．
綜上，這樣的g（x）共有3+2+2+1+1=9種，
故答案為 9．

點評：本題考查函數單調性的性質，求解本題的關鍵是正確理解所給的定義，結合函數定義中對應的思想，對可能的函數進行列舉，得出可能函數的種數，本題比較抽象，解題時要注意對其情況分類討論，不重不漏，本題易因為分類不清，或者考慮情況不嚴密出錯，屬于基礎題．