Question

（2012•江蘇二模）選修4-1：幾何證明選講
如圖，直線AB經(jīng)過圓O上的點C，并且OA=OB，CA=CB，圓O交直線OB于E，D，連接EC，CD，若tan∠CED=

1

2

，圓O的半徑為3，求OA的長．

Answer 1

分析：利用圓的直徑、切線的性質(zhì)及弦切角定理、切割線定理、三角形相似的判定與性質(zhì)即可得出．

解答：解：如圖，連OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB．
∵OC是圓的半徑，∴AB是圓的切線．
∵ED是圓O的直徑，∴∠ECD=90°．
在Rt△ECD中，tan∠ECD=

CD

CE

=

1

2

．
由弦切角定理可得∠BCD=∠BEC，又∠B公用，
∴△BCD∽△BEC，∴

BD

BC

=

CD

EC

=

1

2

，BC²=BD（BD+6）．
化為（2BD）²=BD（BD+6），解得BD=2，
∴OA=OB=OD+DB=3+2=5．

點評：熟練掌握圓的直徑、切線的性質(zhì)及弦切角定理、切割線定理、三角形相似的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．