Question

已知{a_n}是公差d大于零的等差數列，對某個確定的正整數k，有a₁²+a_k+1²≤M（M是常數）．
（1）若數列{a_n}的各項均為正整數，a₁=2，當k=3時，M=100，寫出所有這樣數列的前4項；
（2）當k=5，M=100時，對給定的首項，若由已知條件該數列被唯一確定，求數列{a_n}的通項公式；
（3）記S_k=a₁+a₂+…+a_k，對于確定的常數d，當S_k取到最大值時，求數列{a_n}的首項．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用a₁²+a_k+1²≤M，結合a₁=2，當k=3時，M=100，可求d的值，從而可以寫出所有這樣數列的前4項；
（2）由題意，關于kd的不等式（kd）²+2a₁•kd+2a₁²-100≤0的解集是單元素集，從而可求其首項與公差，進一步可得數列{a_n}的通項公式；
（3），所以，利用a₁²+a_k+1²≤M，化簡可得，從而有，當且僅當時，
S_k取到最大值，故問題得解．
解答：解：（1）因為d是正整數，由2²+（2+3d）²≤100得，d=1或2．…（2分）
所求的數列為2，3，4，5或2，4，6，8．…（4分），故問題得解．
（2）由題意，關于kd的不等式（kd）²+2a₁•kd+2a₁²-100≤0的解集是單元素集，…（5分）
所以△=（2a₁）²-4（2a₁²-100）=0，解得a₁=±10．…（7分）
因為kd＞0，所以a₁＜0，即a₁=-10，5d=-10，d=-2，所以a_n=2n-12．…（10分）
（3），所以…（11分），…（12分）
化簡得…（14分）
當時，，即…（15分）
所以當S_k取到最大值時有，…（16分）
即，解得．…（18分）
點評：本題主要考查數列與汗水的結合，考查學生分析問題、解決問題的能力，有一定的難度．