Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形，已知A（-1，-2）、B（2，3）、D（-2，-1）．
（1）分別求兩條對角線AC，BD的長度；
（2）若向量

AB

-t

OD

與

OD

垂直，求實(shí)數(shù)t的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)C（x，y），由A（-1，-2）、B（2，3）、D（-2，-1），知

AB

=(3，5)，

DC

=(x+2，y+1)，由四邊形ABCD是平行四邊形，知

AB

=

DC

，解得C（1，4）．由此能求出兩條對角線AC，BD的長度．
（2）由

AB

-t

OD

=（3，5）-（-2t，-t）=（3+2t，5+t），

OD

=（-2，-1），向量

AB

-t

OD

與

OD

垂直，知（3+2t，5+t）•（-2，-1）=0，由此能求出t．

解答：解：（1）設(shè)C（x，y），
∵A（-1，-2）、B（2，3）、D（-2，-1），
∴

AB

=(3，5)，

DC

=(x+2，y+1)，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴

AB

=

DC

，
∴

x+2=3 y+1=5

，解得x=1，y=4．即C（1，4）．
∴

AC

=（2，6），AC的長度|

AC

| =

4+36

=2

10

，

BD

=(-4，-4)，BD的長度|

BD

| =

16+16

=4

2

．
（2）∵

AB

-t

OD

=（3，5）-（-2t，-t）=（3+2t，5+t），

OD

=（-2，-1），
向量

AB

-t

OD

與

OD

垂直，
∴（3+2t，5+t）•（-2，-1）=0，
即-6-4t-5-t=0，
從而5t=-11，所以t=-

11

5

．

點(diǎn)評：本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積判斷兩個(gè)向量垂直的關(guān)系的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．