Question

已知函數f（x）=x+，

（1）求函數的定義域；

（2）證明f（x）在（0，1］上是減函數，在［1，+∞）上為增函數；

（3）求函數f（x）在區間（0，+∞）上的最小值；

（4）根據以上函數的性質作出f（x）在區間（0，+∞）上的圖象.

Answer 1

（1）解：函數的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）.

（2）證明：設x₁、x₂是（0，1）上的任意兩個實數，且x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=（x₂+）-（x₁+）=（x₂-x₁）+（-）=（x₂-x₁）+=（x₂-x₁）（1-）.

∵x₁、x₂∈（0，1］，

∴0＜x₁x₂＜1，＞1.

∴1-＜0.

又∵x₂-x₁＞0，

∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）.

∴函數f（x）=x+在（0，1）上是減函數.

同理可證f（x）=x+在［1，+∞］上是增函數.

（3）解：∵函數f（x）=x+在（0，1］上是減函數，

∴當x=1時，函數取最小值y_min=f（1）=1+1=2.

又∵f（x）=x+在［1，+∞）上是增函數，∴當 x=1時，也取最小值y_min=f（1）=1+1=2 .

綜上所述，函數在（0，+∞）上的最小值為2.

（4）解：函數的圖象如下圖：