Question

【題目】已知函數，其中

（1）當時，求函數在處的切線方程；

（2）若函數在定義域上有且只有一個極值點，求實數的取值范圍；

（3）若對任意恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3) .

【解析】試題分析：（1）先求 切線方程（2）求導得，令 ，再分 和三種情況討論，借助導數工具求得正解；（3）利用分類討論思想分 和三種情況討論，借助導數工具求得正解；

試題解析：（1）當則

又則切線的斜率，

所以函數在處的切線方程為．

（2）， ，則，

令，

①若，則，故，函數在上單調遞增，所以函數在上無極值點，故不符題意，舍去；

②若， ，該二次函數開口向下，對稱軸， ，

所以在上有且僅有一根，故，

且當時， ， ，函數在上單調遞增；

當時， ， ，函數在上單調遞減；

所以時，函數在定義域上有且僅有一個極值點，符合題意；

③若， ，該二次函數開口向上，對稱軸．

（ⅰ）若，即， ，故，函數在上單調遞增，所以函數在上無極值點，故不符題意，舍去；

（ⅱ）若，即，又，所以方程在上有兩根， ，故，且

當時， ， ，函數在上單調遞增；

當時， ， ，函數在上單調遞減；

當時， ， ，函數在上單調遞增；

所以函數在上有兩個不同的極值點，故不符題意，舍去，

綜上所述，實數的取值范圍是．

（3）由（2）可知，

①當時，函數在上單調遞增，所以當時，

，符合題意，

②當時， ，

（ⅰ）若，即，函數在上單調遞減，故，不符題意，舍去，

（ⅱ）若，即，故函數在上單調遞增，在上單調遞減，

當時， （事實上，令， ，則，函數在上單調遞減，所以，即對任意恒成立．）

所以存在，使得，故不符題意，舍去；

③當時， ，函數在上單調遞增，所以當時， ，符合題意．

綜上所述，實數的取值范圍是．