Question

如圖，在三棱錐A-BCD中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，AB=AC=AD=4，點P，Q分別在側面ABC棱AD上運動，PQ=2，M為線段PQ中點，當P，Q運動時，點M的軌跡把三棱錐A-BCD分成上、下兩部分的體積之比等于

 

．

Answer 1

分析：由已知中三棱錐A-BCD中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，AB=AC=AD=4，我們易計算出三棱錐A-BCD的體積，又由點P，Q分別在側面ABC棱AD上運動，PQ=2，M為線段PQ中點，我們可以判斷M的軌跡與三棱錐轉成的兩個幾何體的體積，進而得到答案．

解答：解：∵三棱錐A-BCD中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，AB=AC=AD=4，
則棱錐A-BCD的體積V=

1

3

×

1

2

×4×4×4=

32

3

又∵點P，Q分別在側面ABC棱AD上運動，PQ=2，M為線段PQ中點，
∴點M的軌跡在以A為球心以1半徑的球面上
則點M的軌跡把三棱錐A-BCD分成上、下兩部分的體積之比為：

1

8

•

4

3

•π：（

32

3

-

1

8

•

4

3

•π）=π：（64-π）
故答案為：

π

64-π

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積及球的體積，其中判斷出M的軌跡在以A為球心以1半徑的球面上是解答本題的關鍵．